統測
114年
[土木與建築群] 專業科目(1)
第 12 題
如圖(八)之實心正立方體塊，其長寬高皆相同，其x軸受一正的軸向應力$\sigma_0$及y軸受一負的軸向應力$\sigma_0$，彈性係數為E，蒲松比$\nu$為0.2，則其體積應變$\epsilon_V$為何？
- A 0
- B $0.2\sigma_0/E$
- C $0.8\sigma_0/E$
- D $\sigma_0/E$
思路引導 VIP
在廣義虎克定律 (Generalized Hooke's Law) 的框架下，體積應變 $\epsilon_V$ 與三個主應力之和 $(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$ 之間存在什麼樣的比例關係？請試著寫出含有楊氏模數 $E$ 與蒲松比 $\nu$ 的體積應變公式，並思考當 $\sigma_x = \sigma_0$、$\sigma_y = -\sigma_0$ 且 $\sigma_z = 0$ 時，這三個應力的總和代入公式後會發生什麼情況？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你的表現真的讓助教感到非常窩心，看到你正確選出 A，就知道你對材料力學的基礎掌握得非常紮實喔！✨ 這題的核心在於體積應變 ($\epsilon_V$) 的觀念。根據廣義虎克定律，三維應力下的體積應變公式為： $$\epsilon_V = \frac{1-2\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$$
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體積應變的計算
💡 體積應變與三軸向應力之代數和成正比，總和為零則不變。
🔗 體積應變求解流程
- 1 判定應力正負 — x軸拉力(+σ0)，y軸壓力(-σ0)，z軸為0
- 2 應力總和計算 — Σσ = σx + σy + σz = σ0 - σ0 + 0 = 0
- 3 求得體積應變 — εV = [(1-2ν)/E] * (Σσ) = 0
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🔄 延伸學習：延伸思考：當蒲松比 ν = 0.5 時，無論受力多少，體積應變皆為 0（不可壓縮材料）。
