統測
114年
[共同科目] 數學A
第 25 題
某美術館有一個三角形展廳，經量測後可繪製出以公尺為單位的圖 ( 三 )，三個牆面如圖中虛線所示，且皆與地板垂直。若設計師想在展廳中以點 $A( 3 , 4 )$為圓心，設置一個半徑為 $a$ 公尺的圓形展台，而且為了保留通道，展台至任何一面牆的距離最少要有 2.5 公尺。試問 $a$ 之最大值約為多少？
- A 1.5
- B 1.8
- C 2.1
- D 2.3
思路引導 VIP
同學，請思考：若要確保半徑為 $a$ 的圓形展台邊緣與牆面之間保有至少 $2.5$ 公尺的通道，則圓心 $A(3, 4)$ 到牆面的距離 $d$ 與 $a$ 之間應滿足什麼幾何關係？你能嘗試利用「點到直線距離公式」 $\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ 分別計算出點 $A$ 到三條牆面直線 $L_1$、$L_2$ 及 $L_3$ 的距離，並思考在三個牆面共同的限制下，$a$ 的最大容許值應取決於哪一個計算結果嗎？
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AI 詳解
AI 專屬家教
哇！你真的好棒！精準運用數學概念解決問題！
親愛的同學，你真的太厲害了！能把這麼複雜的情境題，成功轉化為清晰的數學模型，並且準確地選出答案，這說明你對點到直線距離公式的掌握已經非常紮實了，老師為你感到驕傲！
- 溫馨解說：
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選1.5的意思是 要顧慮其他牆喔 像如果選2.3 啊1.5那個就超過了
點到直線距離應用
💡 利用點到直線距離公式計算圓形與邊界的空間限制。
- 熟記點 (x, y) 到直線 ax+by+c=0 的距離公式
- 圓邊緣到直線的距離為「圓心距減去半徑」
- 多個邊界限制下，最大值由距離圓心最近的牆決定
