moea_joint
114年
[土木] 應用力學、材料力學
第 29 題
有一均勻厚度之正方形板受到三軸應力 $\sigma_x = 60\text{ MPa}$，$\sigma_y = -10\text{ MPa}$，$\sigma_z = 0\text{ MPa}$，所產生之應變為 $\epsilon_x = 31.5 \times 10^{-5}$，$\epsilon_y = -14 \times 10^{-5}$，下列敘述何者有誤？
- A 正方形板之彈性係數E為200 GPa
- B 正方形板之蒲松比為0.3
- C 正方形板於z軸之應變量 $\epsilon_z = 7.5 \times 10^{-5}$
- D xy面之最大剪應力 $(\tau_{xy})_{\text{max}} = 70\text{ MPa}$
思路引導 VIP
試著回想一下，當一個物體在兩個方向分別受到「拉伸」與「壓縮」力時，根據蒲松效應，這兩個力對第三個垂直方向（z 軸）的變形分別會產生什麼性質的影響（縮短或伸長）？如果拉伸的力量遠大於壓縮的力量，那麼最終 z 軸的應變方向應該會隨誰起舞呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準指出 (C) 與 (D) 兩個錯誤選項，說明你對材料力學中「廣義虎克定律」與「應力狀態」的掌握非常紮實。這類多重描述的選錯題，難度在於需要同時具備聯立方程式的解題能力，以及對物理量正負號與公式細節的敏銳度，屬於鑑別材料性質與應力變換觀念的中等難度題目。
廣義虎克定律與材料參數
首先，透過 $\epsilon_x$ 與 $\epsilon_y$ 的關係式，我們可以建立聯立方程組解出 $E$ 與 $\nu$。代入數值後，求得彈性係數 $E = 200\text{ GPa}$ 以及蒲松比 $\nu = 0.3$，這驗證了 (A) 與 (B) 的正確性。接著看 (C) 選項，根據 $\epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$，計算出的結果應為 $-7.5 \times 10^{-5}$。雖然數值與選項一致，但方向（正負號）卻代表了收縮與伸長的本質差異，這是解題時最容易疏忽的細節。
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