ast_essay
115年
數學乙
第 14 題
📖 題組：
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。 當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 $A(x) = \frac{C(x)-C(0)}{x}$。 今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 42$，其中 $0 \le x \le 15$。根據上述，試回答下列問題。
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。 當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 $A(x) = \frac{C(x)-C(0)}{x}$。 今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 42$，其中 $0 \le x \le 15$。根據上述，試回答下列問題。
當 $0 < x \le 15$ 時，試求此藥廠的平均變動成本函數 $A(x)$，並求右極限 $\lim_{x \to 0^+} A(x)$ 的值。（非選擇題，4分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到本題先辨識目標是求「平均變動成本函數 $A(x)$」及「右極限」。由題組敘述可知 $A(x)$ 的定義公式，將已知函數 $C(x)$ 代入，需先計算出 $C(0)$ 作為固定成本。接著，分子相減消掉常數項後除以 $x$，可得一多項式。最後對該多項式取 $x \to 0^+$ 的極限。這是一道基礎的代數運算與極限定理題型，重點在於看懂應用題的符號定義並確實計算。
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根據題意，$A(x) = \frac{C(x)-C(0)}{x} = \frac{(x^3 - 12x^2 + 60x + 42) - 42}{x} = x^2 - 12x + 60$。 故 $\lim_{x \to 0^+} A(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^2 - 12x + 60) = \lim_{x \to 0^+} (x^2) + \lim_{x \to 0^+} (-12x) + \lim_{x \to 0^+} (60) = 60$。