ast_essay
115年
數學乙
第 15 題
📖 題組：
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。 當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 $A(x) = \frac{C(x)-C(0)}{x}$。 今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 42$，其中 $0 \le x \le 15$。根據上述，試回答下列問題。
某藥廠經營者希望能夠控制成本。假設當藥廠產量為 $x$ 公斤時，總成本函數為 $C(x)$（單位：萬元），其中 $C(0)$ 稱為固定成本，$C(x)-C(0)$ 稱為變動成本函數。 當 $x>0$ 時，變動成本函數除以產量稱為平均變動成本函數 $A(x)$（單位：萬元／公斤），即平均變動成本函數為 $A(x) = \frac{C(x)-C(0)}{x}$。 今已知該藥廠的總成本函數為 $C(x) = x^3 - 12x^2 + 60x + 42$，其中 $0 \le x \le 15$。根據上述，試回答下列問題。
試求此藥廠的平均變動成本函數 $A(x)$ 的最小值，並求此時藥廠產量為多少公斤？（非選擇題，6分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
由上一題已知 $A(x)$ 是一個開口向上的二次函數。要求此二次函數的最小值，主要有兩種解題切入點：第一是利用「配方法」整理成頂點式，第二是利用微積分概念求一階導數 $A'(x)=0$ 來找臨界點（因為區間限制 $0 < x \le 15$ 包含頂點）。算出極小值點後，務必記得題目有兩個問號，要同時回答「最小值」與「此時產量（即對應的 $x$ 值）」，避免答題不完整而被扣分。
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AI 詳解
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【解法一】 因為 $A(x) = x^2 - 12x + 60$，得 $A'(x) = 2x - 12$，解 $A'(x) = 0$ 得 $x = 6$。 因為 $A(x)$ 為二次多項式且首項係數為正，故 $y = A(x)$ 的圖形為凹向上。
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