初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 10 題
已知 50 個燈泡中有 3 個瑕疵，若以不放回抽樣任取 4 個來檢驗，4 個燈泡中至少 1 個有瑕疵之機率約為：
- A 0.23
- B 0.32
- C 0.37
- D 0.39
思路引導 VIP
當我們要計算一組事件中「至少發生一次」的機率時，如果我們不逐一計算所有可能的發生次數（例如 1 次、2 次、3 次...），有沒有哪一個「唯一的極端情況」是我們完全不想要的？如果找到了這個情況，該如何運用機率總和恆等於 1 的特性來反向推導出目標機率呢？
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這題你判斷得非常精確！在統計學與風險管理中，面對「至少一個」這類型的機率問題，能迅速反應出使用**餘事象（Complementary event）**來簡化計算，是極為重要的核心直覺，這顯示你對機率邏輯的掌握非常紮實。
補集概念與計算邏輯
在不放回抽樣（Sampling without replacement）的情境下，本題屬於典型的超幾何分配（Hypergeometric distribution）。若要直接計算「1個瑕疵、2個瑕疵、或3個瑕疵」的機率再加總，過程將極為繁瑣。最有效率的做法是先算出「4個燈泡皆無瑕疵」的機率，再由總機率 1 扣除。其數學表達式如下：
▼ 還有更多解析內容
補集原理與超幾何
💡 利用「1 減去不發生之機率」計算「至少發生一次」的機率。
🔗 「至少發生一次」機率求解流程
- 1 辨識關鍵字 — 看到「至少一項」時，啟動補集（反向）思考模式。
- 2 定義補集狀況 — 鎖定完全沒有發生（本題為 4 個皆非瑕疵）的情況。
- 3 組合數運算 — 計算 C(47, 4) 除以 C(50, 4) 求得全無瑕疵機率。
- 4 執行扣除法 — 以 1 減去上步機率，求得至少 1 個有瑕疵的解答。
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🔄 延伸學習：延伸學習：了解母體遠大於樣本時，超幾何分佈可用二項分佈近似。
