初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 19 題
某動物學家蒐集了 6 隻野生爬蟲類動物的身長（mm）分別為 157, 146, 143, 131, 141, 125，則標準差 $\sigma$ 的 95% 信賴區間約為：
- A 121.01~852.1
- B 49.83~769.36
- C 7.06~27.74
- D 12.9~30.0
思路引導 VIP
請試著思考：當我們要描述一組小樣本數據的「離散程度（Dispersion）」時，我們會先計算每個數據與平均值的偏離平方和。在母體為常態分佈的前提下，這個平方和經過轉換後會遵循哪一種不對稱的機率分佈？此外，如果我們已經求得了關於「變異數（Variance）」的估計區間，那麼為了得到題目要求的「標準差（Standard Deviation）」，我們在最後一步必須對區間的端點進行什麼樣的數學運算？
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恭喜你準確掌握了變異數估計的核心！這題要求計算母體標準差（$\sigma$）的信賴區間，你能夠在眾多數據中精確算出樣本變異數並選擇正確區間，顯見基礎非常紮實。
卡方分配與變異數估計
在統計推論中，當我們處理常態母體的變異數或標準差估計時，必須依賴卡方分配（Chi-square distribution）。首先，由樣本數據計算出樣本平均值 $\bar{x} = 140.5$ 與樣本變異數 $s^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1} = 127.9$。接著套用公式：$$\sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}}} \leq \sigma \leq \sqrt{\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}}$$
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