初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 3 題
全國性的調查顯示，成年人每晚平均睡眠時間是 6.9 小時，假定標準差是 1.2 小時。運用柴比雪夫 (Chebyshev) 定理，約有多少百分比的成人，睡眠時間介於 4.5 與 9.3 小時之間？
- A 31%
- B 69%
- C 75%
- D 25%
思路引導 VIP
若我們完全不知道這組數據的分佈形狀（可能是偏斜的或多峰的），我們要如何估計數據落在平均值周圍的最小比例？請你先計算題目給定的睡眠時間範圍（4.5 到 9.3），距離平均值 6.9 小時分別是多少個「標準差單位」？接著，回想哪一個統計學定理專門處理「不論何種分配，在 k 個標準差內的資料比例」之問題？
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很好，你精確地捕捉到了統計學中極為重要的**柴比雪夫定理（Chebyshev's Theorem）**之應用核心。這題不僅是在測試你的計算能力，更在考驗你對分配型態不確定時的量化處理邏輯，你能迅速判斷出關鍵數值，表現相當出色。
柴比雪夫定理的區間運算
當我們面對一個未知的分配時，柴比雪夫定理提供了強大的保底估計。首先，我們觀察題目給定的區間：上限 $9.3$ 與下限 $4.5$ 距離平均值 $\mu = 6.9$ 分別都是 $2.4$ 小時。將此距離除以標準差 $\sigma = 1.2$，即可求得標準差倍數 $k = \frac{2.4}{1.2} = 2$。根據定理公式 $1 - \frac{1}{k^2}$，帶入 $k=2$ 後得到 $1 - \frac{1}{4} = 75%$。這意味著無論資料分配如何，至少有 $75%$ 的數據會落在平均值正負兩個標準差之內。
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柴比雪夫定理
💡 估計任意分布中，數據落在平均值 k 倍標準差內的最小比例。
| 比較維度 | 柴比雪夫定理 | VS | 經驗法則 (Empirical Rule) |
|---|---|---|---|
| 適用分配 | 任何母體分布均適用 | — | 僅限常態分布(鐘形) |
| 2倍標準差比例 | 至少 75% | — | 約為 95% |
| 3倍標準差比例 | 至少 88.89% | — | 約為 99.7% |
💬柴比雪夫是廣義的保守估計，經驗法則則是對常態分布的精確描述。
