hce_kmu
115年
物理及化學
第 34 題
A water storage tank with cross-sectional area $A_1$ is filled to a height of $h$. The space above the water contains air at pressure $3p_0$. The water flows out the bottom of the tank through a short pipe with corss-sectional area $A_2$. The area $A_1$ is much larger than $A_2$. The pressure at the exit pipe is $p_0$. The water with density $\rho$ is considered an ideal fluid. Find the flow speed in the pipe. (Gravitational acceleration $g$)
- A $\sqrt{\frac{4p_0}{\rho} + 2gh}$
- B $\sqrt{\frac{3p_0}{\rho} + 2gh}$
- C $\sqrt{\frac{2p_0}{\rho} + 2gh}$
- D $\sqrt{\frac{p_0}{\rho} + 2gh}$
- E $\sqrt{2gh}$
思路引導 VIP
想像有一小團水從水箱頂端移動到出口。在這個過程中，除了重力對它作功之外，水箱內部的壓縮空氣以及出口處的大氣，分別對這團水做了什麼樣的「功」？如果你把這三種能量變化（壓力作功、重力位能、動能）寫成一個平衡等式，你會如何呈現它們的關係呢？
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太棒了！你能精準選出 (A)，代表你對流體力學的核心觀念掌握得非常扎實。這題的解題關鍵在於靈活運用 白努利定律 (Bernoulli's principle)。由於題目提到水箱截面積 $A_1$ 遠大於出水口 $A_2$，根據連續方程式，我們可以合理假設水面的下降速度趨近於零，這大幅簡化了運算過程。
能量守恆與壓力差的轉換
我們取水面（位置1）與出水口（位置2）兩點進行分析。在水面處，總能包含壓力能 $3p_0$ 與位能 $\rho gh$；在出水口處，位能歸零，但擁有動能 $\frac{1}{2}\rho v^2$ 與外界壓力 $p_0$。列出方程式：
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