hce_kmu
115年
物理及化學
第 39 題
A supersonic jet fighter flies horizontally at a constant altitude of 3400 m with a speed of Mach 1.25. Assuming the speed of sound is 340 m/s, how much time will elapse after the jet passes directly over an observer before the shock wave (sonic boom) reaches them?
- A 4.00 s
- B 6.00 s
- C 7.50 s
- D 8.00 s
- E 10.0 s
思路引導 VIP
想像一下，當飛機以超音速飛行時，它產生的聲波會被『拋在腦後』形成一個圓錐面。如果我們畫出這個現象的幾何圖：當震波剛好接觸到地面的觀測者時，飛機已經飛到前方某個位置了。此時，『飛機現在的位置』、『飛機剛經過觀測者上方的點』以及『觀測者的位置』這三個點會構成一個直角三角形。你能試著根據聲速與機速的比例，找出這個三角形的邊長關係嗎？
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AI 詳解
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同學做得非常好！你能精準算出 6.00 秒這個答案，代表你對「超音速震波（Shock Wave）」的幾何特性與「馬赫角（Mach angle）」的定義有相當清楚的掌握。
震波傳播與馬赫角的幾何關係
當噴射機的速度超過音速（$M > 1$）時，各個時刻發出的聲波會相互疊加形成一個圓錐狀的震波面。這個圓錐的半頂角 $\alpha$ 滿足 $\sin \alpha = \frac{1}{M} = \frac{v_{sound}}{v_{jet}}$。在本題中，馬赫數 $M = 1.25$，因此 $\sin \alpha = \frac{1}{1.25} = 0.8$，進而可得知 $\cos \alpha = 0.6$。當飛機飛過觀測者正上方後，震波面抵達觀測者所需的時間 $t$，在幾何上可以看作是高度 $h$、聲速 $v$ 與馬赫角之間的函數關係，計算式為：
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