司法三等申論題
115年
[司法事務官營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 二 題
二、如圖所示平面桿件結構，a 點為鉸支承，b 點為滾支承，長度 L = 10 m，桿件有相同彈性模數 E 與慣性矩 I，且 EI = 4000 kN-m2，桿件兩端分別承受大小相等、方向相反之端點彎矩 M0。已知此結構之臨界挫屈載重 Pcr = π^2 EI / L^2，當水平外力 P = 100 kN、且端點彎矩 M0= 18 kN-m，考量二階彎矩（Second-order moment）的幾何非線性效應，求桿件中點之垂直位移及該點之斷面彎矩。（25 分）
提示：
d^2y/dx^2 + λ^2y = m1；邊界條件 y(0)=0，y(L)=0；λ^2 = P/EI，m1 = M0/EI
微分方程的解 y(x) = m1 / (λ^2 sin λL) [sin λL - sin λx - sin λ(L-x)]
提示：
d^2y/dx^2 + λ^2y = m1；邊界條件 y(0)=0，y(L)=0；λ^2 = P/EI，m1 = M0/EI
微分方程的解 y(x) = m1 / (λ^2 sin λL) [sin λL - sin λx - sin λ(L-x)]
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
- 📋 事實梳理：題目要求分析一受軸力與端點彎矩的梁柱結構。已知 P = 100 kN，M0 = 18 kN-m，L = 10 m，EI = 4000 kN-m2。
- 🔍 爭點辨識：這裡的「二階效應」是什麼意思？軸力 P 會乘上變形後的位移 y 產生額外的彎矩（P-δ 效應），這就是非線性的根源。
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【爭點分析】 本題測驗「梁柱效應（Beam-Column Effect）」即二階非線性分析。當桿件同時承受軸力與橫向載重（或端彎矩）時，撓度會因軸力的 P-δ 效應而放大。解題關鍵在於正確計算微分方程式之特解參數，並準確執行弧度制之三角函數運算。 【大前提：理論與公式見解】
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