司法三等申論題
115年
[檢察事務官營繕工程組] 結構分析(包括材料力學與結構學)
第 二 題
如圖所示平面桿件結構，a 點為鉸支承，b 點為滾支承，長度 $L = 10 \text{ m}$，桿件有相同彈性模數 $E$ 與慣性矩 $I$，且 $EI = 4000 \text{ kN-m}^2$，桿件兩端分別承受大小相等、方向相反之端點彎矩 $M_0$。已知此結構之臨界挫屈載重$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$，當水平外力 $P = 100 \text{ kN}$、且端點彎矩 $M_0= 18 \text{ kN-m}$，考量二階彎矩（Second-order moment）的幾何非線性效應，求桿件中點之垂直位移及該點之斷面彎矩。（25 分）
提示：$\frac{d^2y}{dx^2}+\lambda^2 y = m_1$ ；邊界條件 $y(0)=0$ ，$y(l)=0$ ； $\lambda^2=\frac{P}{EI}$ ，$m_1=\frac{M_0}{EI}$
微分方程的解 $y(x)=\frac{m_1}{\lambda^2 \sin \lambda\ell} [\sin \lambda\ell - \sin \lambda x - \sin \lambda (\ell-x)]$
提示：$\frac{d^2y}{dx^2}+\lambda^2 y = m_1$ ；邊界條件 $y(0)=0$ ，$y(l)=0$ ； $\lambda^2=\frac{P}{EI}$ ，$m_1=\frac{M_0}{EI}$
微分方程的解 $y(x)=\frac{m_1}{\lambda^2 \sin \lambda\ell} [\sin \lambda\ell - \sin \lambda x - \sin \lambda (\ell-x)]$
📝 此題為申論題
📜 參考法條
提示：$\frac{d^2y}{dx^2}+\lambda^2 y = m_1$ ；邊界條件 $y(0)=0$ ，$y(l)=0$ ； $\lambda^2=\frac{P}{EI}$ ，$m_1=\frac{M_0}{EI}$
微分方程的解 $y(x)=\frac{m_1}{\lambda^2 \sin \lambda\ell} [\sin \lambda\ell - \sin \lambda x - \sin \lambda (\ell-x)]$
思路引導 VIP
針對此題，你需要考量軸向力對彎矩影響的幾何非線性效應（Beam-Column 效應）。
- 📋 事實梳理：題目給定了控制微分方程式及其通解。你知道哪些邊界條件和參數數值？（$L=10$, $EI=4000$, $P=100$, $M_0=18$）
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【爭點分析】 本題測驗具軸壓之梁柱（Beam-Column）問題，需考量幾何非線性效應（P-delta效應）。利用題目給定之二階微分方程解，求算特定點之側向位移與放大後之彎矩。 【解題過程】
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