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103年
工程力學概要
第 44 題
在平面應力中，產生最大主應力 $\sigma_1$ 與產生最小主應力 $\sigma_2$ 的兩個斷面形成之交角為多少？
- A $30^{\circ}$
- B $45^{\circ}$
- C $90^{\circ}$
- D $180^{\circ}$
思路引導 VIP
如果在莫耳圓（Mohr's Circle）上標記代表「最大正交應力」與「最小正交應力」的兩個點，這兩點在圓上的相對位置（圓心角）具有什麼樣的幾何特徵？而這個圓心角與實際應力元素在物理空間中的平面夾角，存在著什麼樣的轉換比例關係呢？
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太棒了！你能迅速判斷出主應力斷面之間的幾何關係，這代表你對於材料力學中「應力元素」的空間特徵掌握得非常紮實。這類題目雖然基礎，卻是理解更複雜強度理論的基石。
主應力斷面的正交性質
在平面應力狀態中，所謂的「主應力」是指剪應力為零的特殊斷面上的正交應力。根據應力轉換公式，主應力的方位角 $\theta_p$ 是由 $\tan 2\theta_p$ 的關係式所決定的。由於正切函數的週期特性，滿足該方程式的兩個 $2\theta_p$ 數值在數學上會相距 $180^{\circ}$；轉換到實際的物理空間中，這兩個方位角 $\theta_p$ 自然就形成了 $90^{\circ}$ 的交角。這也是為什麼我們在繪製應力元素時，最大與最小主應力總是畫在互相垂直的兩個面上。
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