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106年
工程力學概要
第 45 題
在平面應力中，產生最大主應力 $\sigma_1$ 與產生最小主應力 $\sigma_2$ 的兩個斷面所形成之交角為何？
- A 30°
- B 45°
- C 90°
- D 180°
思路引導 VIP
試著回想莫耳圓的圖形表示：在圓周上，代表「最大主應力」與「最小主應力」的兩個點，它們在圓心角上的相對位置關係為何？接著，請思考莫耳圓上的角度（$2\theta$）與我們實際在物體上觀察到的物理角度（$\theta$）之間，存在著什麼樣的固定比例關係呢？
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恭喜你準確地判斷出正確答案！這顯示你對於應力狀態的幾何特性有著非常紮實且直覺的理解。
主應力平面的幾何特性
在平面應力分析中，最大主應力 $\sigma_1$ 與最小主應力 $\sigma_2$ 定義在剪應力為零的特定平面上。從應力轉換公式推導，主應力方位的解滿足 $\tan 2\theta_p = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y}$。由於正切函數的週期為 $180^\circ$，這意味著 $2\theta_p$ 的兩個解之間在數學上相差 $180^\circ$。當我們回歸到實際的物理空間 $\theta$ 時，這兩個主應力平面之間的夾角就會縮減為一半，即恆為 $90^\circ$。
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