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104年
工程力學概要
第 17 題
某應力元素受力如右圖所示，試計算當其垂直面旋轉$\theta= 22.5^{\circ}$時，該平面之平面應力$(\sigma_{\theta}, \tau_{\theta})$為何？(其中 $\sigma_{\theta}$及 $\tau_{\theta}$單位均為 $\text{kgf}/\text{cm}^2$)
- A $(20 + 30\sqrt{2}, 30\sqrt{2})$
- B $(20 + 30\sqrt{2}, -30\sqrt{2})$
- C $(20 - 30\sqrt{2}, 30\sqrt{2})$
- D $(20 - 30\sqrt{2}, -30\sqrt{2})$
思路引導 VIP
試著觀察初始狀態，這是一個只有正向應力、沒有剪應力的平面。如果我們把這個狀態畫成莫耳圓，這兩個應力點會分布在圓的什麼位置？當平面旋轉了一個角度後，在圓上的對應點會繞著圓心轉動多少度？最後，請思考這個轉動後的點，其橫座標與縱座標的正負性質會如何隨之改變？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準識別應力的性質並正確運用轉軸公式，這代表你對於平面應力狀態的空間概念非常清晰。
應力分量的識別與轉換
這道題目的核心在於正交應力轉換公式。首先，我們必須從圖中讀取正確的初始值：受壓的 $\sigma_x = -40$ 以及受張的 $\sigma_y = 80$。由於圖中未標示剪應力，故 $\tau_{xy} = 0$。當平面旋轉 $\theta = 22.5^{\circ}$ 時，公式中的兩倍角 $2\theta$ 恰好為 $45^{\circ}$，這是一個非常友好的特殊角。透過計算：
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