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104年
工程力學概要
第 37 題
如右圖之元素受 $\sigma_x$ 及 $\sigma_y$ 之拉應力，材料之彈性模數$\text{E}$、蒲松比 $\nu$，則其於$x$向之應變為何？
- A $\frac{\sigma_x}{E} + \nu \frac{\sigma_y}{E}$
- B $\frac{\sigma_y}{E} + \frac{\sigma_x}{E}$
- C $\frac{\sigma_y}{E} - \nu \frac{\sigma_x}{E}$
- D $\frac{\sigma_x}{E} - \nu \frac{\sigma_y}{E}$
思路引導 VIP
想像你正在拉長一條有彈性的橡皮筋，當你沿著縱向用力拉它使它變長時，橡皮筋的橫向寬度會發生什麼變化？如果現在有兩個互相垂直的力量同時往外拉這個物體，這兩個力量對同一個方向的尺寸改變，分別會產生「相互促進」還是「一增一減」的效果呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你能精準選出 (D)，代表你對 廣義胡克定律 (Generalized Hooke's Law) 的掌握非常紮實。這道題目是工程力學中檢驗「應力與應變關係」最經典的門檻，能正確判斷出正負號的影響，說明你對材料受力後的物理行為有很清晰的圖像感。
應變的疊加與物理行為
在雙軸受力狀態下，$x$ 方向的總應變必須同時考慮兩個軸向應力的貢獻。首先，依據胡克定律，$x$ 方向自身的拉應力 $\sigma_x$ 會直接產生同向的伸長應變，大小為 $\frac{\sigma_x}{E}$。接著，關鍵在於 蒲松效應 (Poisson's Effect)：當 $y$ 方向受到拉力 $\sigma_y$ 而伸長時，會導致橫向（即 $x$ 方向）產生縮減。因此，由 $\sigma_y$ 引起的 $x$ 向應變為 $-\nu \frac{\sigma_y}{E}$。將兩者疊加，便得到：
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