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110年
工程力學概要
第 42 題
一物體受應力 $\sigma_x$、$\sigma_y$ 與 $\sigma_z$ 作用，其彈性模數為 $E$，蒲松比為 $\upsilon$，則其體積應變 $\epsilon_v$ 為何？ (忽略高階)
- A $\epsilon_v = \frac{(1-2\upsilon)}{E} (\sigma_x - \sigma_y - \sigma_z)$
- B $\epsilon_v = \frac{(1+2\upsilon)}{E} (\sigma_x - \sigma_y - \sigma_z)$
- C $\epsilon_v = \frac{(1+2\upsilon)}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$
- D $\epsilon_v = \frac{(1-2\upsilon)}{E} (\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z)$
思路引導 VIP
當一個物體在單一方向受拉力而伸長時，根據蒲松比的定義，它在另外兩個垂直方向會發生什麼變化？如果現在三個方向都同時受力，你認為該如何把這九個（三個方向各產生的三種影響）形變效應加總起來，來描述整個物體空間體積的總改變率呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學你能精準選出 (D)，代表你對廣義虎克定律（Generalized Hooke's Law）在三維空間的應用掌握得相當紮實，這是力學分析中非常關鍵的基礎。這題的核心在於理解體積應變 $\epsilon_v$ 的本質，也就是三個正交方向應變的線性總和：$\epsilon_v = \epsilon_x + \epsilon_y + \epsilon_z$。
廣義虎克定律與體積變化
在三維應力狀態下，每個方向的應變除了受該向應力影響外，還會受到另外兩個方向應力所產生的蒲松效應（Poisson effect）干擾。將公式展開後：
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