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110年
工程力學概要
第 16 題
如右圖所示之元素受力後，若 $\upsilon$ 為蒲松比，$E$ 為彈性模數，則其在x方向之應變為何？
- A $\frac{\sigma_x}{E} + \upsilon \frac{\sigma_y}{E}$
- B $\frac{\sigma_y}{E} + \upsilon \frac{\sigma_x}{E}$
- C $\frac{\sigma_x}{E} - \upsilon \frac{\sigma_y}{E}$
- D $\frac{\sigma_y}{E} - \upsilon \frac{\sigma_x}{E}$
思路引導 VIP
想像你正在拉伸一條具有彈性的橡皮筋。當你在垂直方向（y軸）用力拉長它時，這條橡皮筋在水平方向（x軸）的寬度會發生什麼樣的自然變化？這種由另一個維度帶來的變化，對於我們原本想計算的水平方向總長度，是具有「增加」還是「抵銷」的效果呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學做得很好！你能正確選出 (C)，代表你對材料力學中廣義虎克定律 (Generalized Hooke's Law) 的疊加原理已有相當紮實的掌握。這道題目是工程力學中的核心基本功，雖然計算不難，但它精準地考驗了學生是否能釐清多軸向受力時的「耦合效應」。
應變的疊加與蒲松效應
在線性彈性範圍內，$x$ 方向的總應變 $\epsilon_x$ 是由各個方向的應力共同貢獻的。首先，由 $x$ 方向應力 $\sigma_x$ 產生的直接應變為 $\frac{\sigma_x}{E}$。接著，關鍵在於考慮 蒲松效應 (Poisson's effect)：當 $y$ 方向受到拉應力 $\sigma_y$ 時，會導致 $x$ 方向產生側向收縮。這個收縮量正是 $y$ 方向應變乘上蒲松比 $\upsilon$，也就是 $-\upsilon \frac{\sigma_y}{E}$。將這兩者線性疊加後，即可導出正確的關係式：
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