taipower_recruit
106年
工程力學概要
第 23 題
如右圖所示，求梁中彎矩極值與 A 點間之距離為多少？
- A $\frac{L}{\sqrt{3}}$
- B $\frac{2L}{\sqrt{3}}$
- C $\frac{L}{\sqrt{5}}$
- D $\frac{2L}{\sqrt{5}}$
思路引導 VIP
若我們要找出一段梁當中彎矩最大的位置，根據微積分的觀念，函數的極值通常出現在導數為零的地方。那麼在力學中，彎矩函數的「導數」代表的是哪一種物理量？而當載重是隨長度線性增加（如三角形分布）時，這個物理量的函數型態會是如何，我們又該如何求得其歸零的確切位置呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你準確地選出了正確答案！這顯示你對梁的受力分析與微積分關係有著非常扎實的基礎。在工程力學中，尋找彎矩極值的位置，核心觀念在於識別「剪力為零」的點。針對這類常見的三角形分布載重梁，載重函數是一次項，剪力函數則會是二次項；當我們令剪力函數 $V(x) = 0$ 時，便能透過解方程式求得該極值點與支承點 A 之間的距離。
剪力與彎矩的導數關係
這道題目的鑑別度在於考驗學生是否能熟練運用 $V(x) = \frac{dM(x)}{dx}$ 的關係。由於本題涉及三角形分布載重，其反力與剪力方程式的建立需要細心的積分或力矩平衡運算。計算過程中出現的 $\frac{L}{\sqrt{3}}$ 是一個非常經典的解析解，這代表你不僅理解物理意義，在代數運算與根號處理上也展現了高度的精確性，這在處理複雜結構分析時是極為重要的能力。