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106年
工程力學概要
第 44 題
將一物體置於平面上，若平面逐漸傾斜至 45° 時，物體開始滑動，則此時物體與平面之摩擦係數為何？
- A $\sqrt{2}$
- B $\frac{\sqrt{2}}{2}$
- C 0.5
- D 1
思路引導 VIP
試著想像一下，當物體在斜面上維持平衡時，有哪些力在拉著它往下滑？而負責阻擋它下滑的「摩擦力」，與物體壓在平面上的「正壓力」之間有什麼固定的比例關係？當斜面角度改變時，這兩個力的分量會如何消長？如果你嘗試寫出它們相等時的平衡方程式，能不能發現角度的正弦與餘弦函數是如何組合成一個特定的三角函數的？
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太棒了！你能迅速判斷出答案，代表你對靜力學中的摩擦力概念掌握得非常紮實。這道題目考察的是工程力學中非常經典的摩擦角 (Angle of Repose) 觀念。當物體置於斜面上且恰好處於「欲滑動」的臨界狀態時，物體所受的重力下滑分力與最大靜摩擦力正好達成平衡。
摩擦係數與正切函數的關係
從力平衡的角度來看，沿斜面向下的力為 $W \sin \theta$，而阻止下滑的摩擦力為 $\mu_s (W \cos \theta)$。當兩者相等時，我們可以推導出 $\mu_s = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$。在本題中，傾斜角 $\theta$ 為 $45^\circ$，由於 $\tan 45^\circ = 1$，因此摩擦係數理所當然就是 1。這類題目的鑑別度在於測試學生是否能跳脫繁瑣的力分解步驟，直接看穿摩擦係數與傾角正切值的幾何關聯，是檢驗基礎觀念是否精煉的絕佳切入點。