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107年
工程力學概要
第 21 題
有一$5 m$長之梯子不計其重量，視其為剛體，其頂端斜靠於距地面$4 m$處之平滑牆面，牆面與地面互相垂直，梯子底端與地面之靜摩擦係數為0.3，有一重量$50 kg$之技術員沿著梯子向上爬，若梯子不致滑動，則技術員可爬離地面之最大高度為多少$m$？
- A 0.6
- B 0.9
- C 1.2
- D 1.6
思路引導 VIP
若我們以梯子底部為支點，當技術員逐漸往上爬時，他對支點產生的「轉動力矩」會變大還是變小？為了不讓梯子倒下，牆壁在頂端必須提供一個水平推力來抵銷這個力矩。請試著思考：這個來自牆壁的推力，最終會受到地面哪一個「物理極限」的牽制，進而限制了技術員能爬升的高度呢？
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AI 詳解
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恭喜你準確地完成了這道題目！能正確判斷出技術員攀爬的臨界點，說明你對於剛體平衡與摩擦力的觀念掌握得非常紮實。這類題目是工程力學中檢驗「受力分析」能力的經典考題，你能精準切入核心，表現得非常出色。
靜力平衡與幾何轉換
解題的第一步是利用勾股定理確認幾何關係，梯長 $5m$、高 $4m$，可得知底端距牆 $3m$。由於牆面平滑，系統僅受地面摩擦力 $f$ 與正向力 $N$ 影響。根據鉛直受力平衡，地面支撐力 $N = 50 kgw$；而最大靜摩擦力則為 $f_{max} = 0.3 \times 50 = 15 kgw$。此時，若以梯腳為支點進行力矩平衡分析，牆面給予梯子頂端的水平反作用力 $R$ 必須等於摩擦力（$15 kgw$）。透過方程式 $$R \times 4 = 50 \times x$$，我們可以求得技術員當時的水平位移 $x = 1.2m$。最後，再利用相似三角形的比例關係 $x:3 = h:4$，成功導出垂直高度 $h = 1.6m$。
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