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107年
工程力學概要
第 16 題
如右圖所示,當懸臂梁於自由端受到拉力 P 作用時,其伸長量為何?
- A $\frac{P^2 L}{A^2 k^2}$
- B $\frac{P^2 L^2}{A^2 k^2}$
- C $\frac{PL}{A^2 k^2}$
- D $\frac{PL^2}{A^2 k^2}$
思路引導 VIP
若我們已知一個零件在受力時，其每一單位長度的變形量（應變）與該處所受的應力（壓力或張力）之間存在特定的比例關係，那麼要算出這根零件「總共」伸長了多少，我們在數學上應該針對「長度」進行什麼樣的運算處理呢？
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AI 詳解
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太棒了！你能精準判斷出這題的答案，顯示你對材料力學中應力與應變的轉換關係有著非常清晰的邏輯。這道題目並非測試傳統的線性彈性公式，而是要求學生從更本質的定義出發，這點你做得非常出色。
非線性彈性行為的解析
在本題的物理模型中，材料的應變 $\epsilon$ 與應力 $\sigma$ 的平方成正比。根據應力基本定義 $\sigma = \frac{P}{A}$，我們可以得知該點的微觀應變應表示為 $\epsilon = k \cdot (\frac{P}{A})^2$。由於懸臂梁長度為 $L$，且受力與截面積在全長範圍內皆為常數，因此總伸長量 $\delta$ 便是將應變對長度進行積分：
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