普考申論題
108年
[測量製圖] 測量平差法概要
第 四 題
有一扇形的土地（如下圖所示），測量了該扇形的圓心角 θ、半徑 r 及圓弧長 L；有關觀測值及觀測精度，如下表所示。試以最小二乘法間接觀測平差法求該扇形面積及其標準差。（25 分）
扇形土地的觀測值及觀測精度表：
- 圓心角 θ: 30°, 標準差 ± 6′′
- 半徑 r: 38.00 m, 標準差 ± 0.02 m
- 圓弧長 L: 20.00 m, 標準差 ± 0.02 m
（註：面積公式可表示為 A = (1/2)rL 或 A = (1/2)r²θ）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到這題，首先要辨識出需採用『間接觀測平差法』，選定兩個獨立的未知參數（如半徑 r 與圓心角 θ）。解題關鍵在於必須將角度觀測值與其標準差皆轉換為「弧度 (rad)」以保持函數單位一致性。接著，對非線性的圓弧長公式進行泰勒展開線性化，解出平差後的參數值，最後再利用協方差傳播定律評估扇形面積的標準差。
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【解題關鍵】應用「間接觀測平差法」建立以半徑 $r$ 與圓心角 $\theta$ 為未知參數之觀測方程式，並利用「協方差傳播定律」計算面積之標準差；計算時務必將角度單位轉換為弧度（rad）。 【解答】 計算：
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