高考申論題
108年
[天文] 應用數學(包括微積分、微分方程與向量分析)
第 三 題
定義函數空間 $C_0^1((0, 1)) = \{ f(x) \mid f(x) \text{ 在每點 } x \in (0, 1) \text{ 都可微分且微分 } f'(x) \text{ 在 } (0, 1) \text{ 是連續函數, } f(0) = f(1) = 0 \}。$假設
$I(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 [(v')^2 + v^2 - 2xe^x v] dx, v \in C_0^1((0, 1))。$請在 $C_0^1((0, 1))$ 函數空間中找出使 $I(v)$ 為最小的函數 $v$，需要說明為什麼這個 $v$ 使 $I(v)$ 為最小。（提示：變分法）（25 分）
📝 此題為申論題
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本題屬於變分法（Calculus of Variations）的典型應用，解題核心分為兩步：首先利用尤拉-拉格朗日方程式（Euler-Lagrange Equation）將泛函極值問題轉化為常微分方程式的邊值問題並求解；其次，必須透過加入任意擾動函數並展開泛函，利用分部積分與配方法嚴格證明所求函數確實能使泛函達到絕對極小值。
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【解題思路】利用尤拉-拉格朗日方程式求出臨界函數，再透過泛函展開與分部積分嚴格證明其為全局最小值。 【詳解】 已知：目標泛函為 $I(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 [(v')^2 + v^2 - 2xe^x v] dx$，且邊界條件為 $v(0) = v(1) = 0$。
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