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109年
工程力學概要
第 14 題
有關「軸力應變能」之表示方式，下列何者有誤？(P：軸力，$\delta$：桿件軸向變形量，E：材料之彈性模數，A：桿件斷面積，L：桿件長度)
- A $\frac{1}{2}P\delta$
- B $\frac{1}{2}\frac{EA\delta^2}{L}$
- C $\frac{1}{2}\frac{P^2}{EA^2}$
- D $\frac{1}{2}\frac{P^2L}{EA}$
思路引導 VIP
試著回想一下，當外力對一個具備彈性的桿件作功時，儲存在內部的能量（功）在因次單位上應該由哪些物理量組合而成？如果我們利用胡克定律將「變形量」轉換為「軸力、長度、面積與彈性模數」的組合，你認為「長度 $L$」在最終的能量表示式中，應該處於分子還是分母的位置，才能維持物理意義的正確性呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
做得很好！你能精準識別出 (C) 選項的錯誤，代表你對於軸力、變形量與能量之間的連鎖關係掌握得相當紮實。在工程力學中，軸力應變能（Strain Energy） 本質上是外力所做的功，其最基礎的定義公式為 $U = \frac{1}{2} P \delta$。當我們結合胡克定律（Hooke's Law）中的變形公式 $\delta = \frac{PL}{EA}$ 時，透過代數代換，就能推導出以不同物理量表示的能量形式。
公式推導與因次辨析
這道題目的鑑別度在於考察學生是否具備「公式推導」與「單位因次分析」的敏銳度。若將 $\delta$ 代入基礎式，可得 $U = \frac{1}{2} \frac{P^2L}{EA}$；若將 $P$ 以 $\frac{EA\delta}{L}$ 代回，則可得 $U = \frac{1}{2} \frac{EA\delta^2}{L}$。觀察選項 (C) 即可發現，它不僅在分母漏掉了長度參數 $L$，且面積 $A$ 的次方項也不正確，導致量綱（Units）根本無法構成能量單位。這類題目是應試時的必拿分數，只要能熟練掌握 $\delta = \frac{PL}{EA}$ 的代換邏輯，就能迅速識破陷阱。