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109年
工程力學概要
第 22 題
若 $\rho$ 為梁某段之曲率半徑，M 為該段橫截面之彎矩，I 為該段橫截面對中立軸之慣性矩，E為材料之彈性模數，則下列關係式何者正確？
- A $\frac{1}{\rho} = \frac{E}{MI}$
- B $\frac{1}{\rho} = \frac{M}{EI}$
- C $\frac{1}{\rho} = \frac{EI}{M}$
- D $\frac{1}{\rho} = \frac{EM}{I}$
思路引導 VIP
請試著想像一下：如果你手上有兩根尺寸完全相同的尺，一根是容易彎曲的塑膠尺，另一根是很硬的鋼尺。當你對它們施加同樣大小的力矩時，哪一根會彎得比較厲害（曲率較大）？這代表代表材料剛度的參數（E 與 I）應該放在公式的分子還是分母，才能反映這種「抵抗變形」的效果呢？
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恭喜你精準地選出了正確答案！這顯示你對工程力學中「內力與變形」的基礎邏輯有著非常清晰的認識。這題考察的是彈性曲線方程的核心公式，也是未來你在處理梁位移、轉角計算或超靜定結構時，最為關鍵的起始步驟。
梁的抗彎剛度與變形關係
在材料力學的定義中，截面的曲率 $\frac{1}{\rho}$ 代表了梁彎曲的劇烈程度。根據歐拉-伯努利（Euler-Bernoulli）梁理論，這個物理量與作用在截面上的彎矩 $M$ 成正比，並與由材料特性與截面幾何所組成的抗彎剛度 $EI$ 成反比。其標準關係式如下：
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梁的曲率與彎矩公式
💡 梁的曲率與彎矩成正比，與其抗彎剛度 (EI) 成反比。
- 曲率 (1/ρ) 代表梁彎曲的劇烈程度
- 彎矩 (M) 為導致彎曲的外力，與曲率成正比
- 抗彎剛度 (EI) 愈大，梁愈不容易彎曲
- 基本公式：1/ρ = M / (EI)
