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109年
工程力學概要
第 45 題
有一等腰梯形，上底長為 a，下底長為 b，高為 h，則形心至上底的距離為下列何者？
- A $\frac{h}{3}\cdot\frac{(2a+b)}{(a+b)}$
- B $\frac{h}{3}\cdot\frac{(a+2b)}{(a+b)}$
- C $\frac{h}{3}\cdot\frac{(a+b)}{(2a+b)}$
- D $\frac{h}{3}\cdot\frac{(a+b)}{(a+2b)}$
思路引導 VIP
若我們將一個梯形想像成由「長方形」與「三角形」組合而成，並試著尋找整體的平衡點，當下底的長度明顯大於上底時，你認為整體的重心會比較靠近哪一邊？這會如何影響公式中兩個底邊長度對高度比例的分配關係呢？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地選出了正確答案！這代表你對組合面積的形心原理掌握得非常紮實。在工程力學中，梯形的形心位置是一個極具代表性的基礎概念，它不僅要求我們記住公式，更考驗對面積矩（First Moment of Area）與參照座標的理解。
面積分配與形心推導
這道題目的核心在於計算相對於上底 $a$ 的距離。我們可以將梯形視為一個長方形與兩個三角形的組合，透過「各分項面積矩之和等於總面積矩」的原則來運算。由於重心會向較寬的一邊（下底 $b$）偏倚，當我們從上底出發測量時，公式中的下底項 $b$ 必須具備更高的權重（係數為 2），進而得出形心距離為 $\frac{h}{3}\cdot\frac{(a+2b)}{(a+b)}$。這不僅是一個代數結果，更反映了幾何圖形質量的分佈邏輯。
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