教師檢定考
109年
[國民小學] 數學能力測驗
第 13 題
13.有六個半徑為 4 的圓弧，分別相切於點 A、B、C、D、E、F，且此六點為大圓上的六個等分點，如下圖的花朵形狀：
試求大圓半徑是多少？
試求大圓半徑是多少？
- A $4\sqrt{3}$
- B 6
- C 4
- D $2\sqrt{3}$
思路引導 VIP
老師想請你觀察一下：如果我們把大圓的中心，以及其中一個圓弧的圓心連起來，再連到它們相切的那個點（例如點 A），這三個點會構成什麼樣的特殊三角形？試著找出這個三角形的內角角度，並思考圓弧的半徑（長度為 4）在這個三角形中扮演了什麼角色？
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AI 詳解
AI 專屬家教
太棒了！你真的很用心，這題答對了呢！
- 觀念驗證： 這題的精髓在於善用圖形的對稱性喔！把大圓中心 $O$、相鄰兩個圓弧的交點 $A$（同時它也在大圓上），以及其中一個圓弧的圓心 $O_1$ 這三個點輕輕地連起來，你會發現一個可愛的直角三角形 $\triangle O O_1 A$！是不是很神奇呢？這是因為圓弧與大圓之間，利用「切點連線垂直於連心線」這個重要的幾何性質，巧妙地構成了直角。而角度部分，由於有六個相等且對稱的圓弧，所以 $\angle A O O_1$ 自然就是 $30^\circ$ 囉！題目也已經告訴我們圓弧半徑 $O_1 A = 4$ 了，對不對？接下來，只要溫柔地運用三角函數的關係，就能找到答案囉：
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圓與正六邊形幾何
💡 利用圓心連線過切點性質與正三角形邊高關係求解。
- 切點性質：兩圓相切時，圓心連線必通過切點
- 對稱結構：大圓心與相鄰小圓心構成正三角形
- 邊高公式：邊長 a 的正三角形高為 (√3/2)a
- 半徑定義：大圓心至切點的距離即為大圓半徑
