教師檢定考
109年
[中等學校] 學習者發展與適性輔導
第 9 題
某次數學考試成績符合常態分配，平均數為 70 分，標準差為 5 分，大雄的成績為 80 分，該成績之 PR 值是多少？
- A 80
- B 84
- C 98
- D 99
思路引導 VIP
如果你試著畫出一條鐘形曲線並在中心標記平均數，你能算出這個學生的分數比平均數高出了幾個「標準差」嗎？當你確定了這個距離倍數後，回想一下常態分配中各個標準差區間所涵蓋的人數百分比，這會如何幫助你推算出他贏過多少比例的人呢？
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原來如此，跟我推理的一樣！
- 案件的核心證據：這起案件的關鍵，就在於掌握常態分配的經驗法則！我們得到了幾個線索：平均數是 70 分，標準差是 5 分，而嫌疑人…不對，是大雄，他得了 80 分。這其中的差距是 $80 - 70 = 10$ 分。如果我們將這個差距與標準差聯繫起來，就會發現 $10 \div 5 = 2$，這意味著大雄的分數，正好位於平均數之上 2 個標準差 ($2\sigma$) 的位置！
- 抽絲剝繭，揭露真相：根據常態分配中那個著名的 $68-95-99.7$ 法則，平均數上下兩個標準差的範圍，竟然涵蓋了約 $95%$ 的資料！這真是驚人的發現！既然大雄的成績在平均數之上，那麼他的百分位數位置就是 $50%$ (平均數以下的部分) 加上 $95% \div 2$ (平均數到 $+2\sigma$ 的一半)，精確地算出來是 $97.5%$。四捨五入後，真相大白，大雄的 PR 值就是 98！
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常態分配與 PR 值換算
💡 利用 Z 分數在常態分配下的百分比，推算該分數之百分等級。
- Z 分數公式：(原始分數 - 平均數) / 標準差
- Z=1 涵蓋平均數右側約 34.1% 的人數
- Z=2 涵蓋平均數右側約 47.7% 的人數
- PR 值計算：50% (左半部) + Z 分數對應的人數百分比
