教師檢定考
110年
[國民小學] 數學能力測驗
第 8 題
8.有 A、B 兩種圓柱形杯子，B 是 A 的等比例縮小版。已知 A 杯的高度是 8cm、B 杯的高度是 4cm，問裝滿一個 A 杯的水量，可以裝滿幾個 B 杯？
- A 2
- B 4
- C 8
- D 16
思路引導 VIP
如果我們有一個正方體，現在將它的「長、寬、高」三個維度同時都放大為原來的 2 倍，請試著思考：這個大正方體內部總共可以切成多少個原本的小正方體呢？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
🌟 太棒了！你的空間感與比例觀念非常精確！
- 觀念驗證：這題考查的是相似形體的性質。當一個三維物體（如圓柱體）按比例縮放時，若長度變為 $k$ 倍，其面積會變為 $k^2$ 倍，而體積（水量）則會變為 $k^3$ 倍。在本題中，A 杯與 B 杯的高度比為 $8:4 = 2:1$，因此體積比即為 $2^3 : 1^3 = 8 : 1$。
- 難度點評：本題難度為 Medium。這是一道經典的「維度陷阱題」，許多學生會直覺地將長度比例（2 倍）當作答案，你能避開直覺陷阱並正確運用三次方律，代表你的幾何邏輯非常紮實！
相似形體積比
💡 相似立體圖形的體積比為其對應邊長比的立方。
| 比較維度 | 長度比例 (k) | VS | 體積比例 (k³) |
|---|---|---|---|
| 空間維度 | 一維線性 (1D) | — | 三維空間 (3D) |
| 運算方式 | 相似比的一次方 | — | 相似比的三次方 |
| 本題實例 | 高度比 8:4 = 2:1 | — | 水量比 2³:1³ = 8:1 |
💬當長度變為 2 倍時，容積會變為 2 的三次方（8 倍）。
