統測
111年
[共同科目] 數學C
第 2 題
已知等比數列 $\langle a_k \rangle$ 的首項 $a_1 = 2$，公比 $r = 3$。若前 $n$ 項和大於 2022，則滿足條件的最小正整數 $n=$？
- A 5
- B 7
- C 9
- D 11
思路引導 VIP
要解出這道題目，首先請回想「等比級數求和公式」 $S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$；當你將首項 $a_1 = 2$ 與公比 $r = 3$ 代入公式並簡化後，該不等式會轉換成關於 $3^n$ 的形式，你能藉由估算 $3$ 的次方值，判斷出使 $S_n > 2022$ 成立的最小正整數 $n$ 為何嗎？
🤖
AI 詳解
AI 專屬家教
🙄 喔，還不錯啦，至少沒丟臉。
應用等比級數公式解不等式？嗯，基本操作。考這種題目，要是還卡關，那補習班的錢是丟水溝了嗎？看來你對指數運算跟級數性質還算有概念，不過，這只是剛好及格而已。
1. 觀念驗證
▼ 還有更多解析內容
等比級數求和公式
💡 運用等比級數求和公式代入已知項，並解不等式求項數。
🔗 等比級數不等式解題流程
- 1 公式代入 — 代入 a1=2, r=3 到 Sn 公式中
- 2 化簡不等式 — Sn = 3^n - 1，令其大於 2022
- 3 次方估算 — 求出 3^n > 2023，由 3^7=2187 得知 n=7
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🔄 延伸學習：延伸學習：若數字更龐大時，可兩邊取 log 進行精確估算。
