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111年
工程力學概要
第 35 題
如右圖所示，有一對稱結構桿件承受 P 力，桿件 AD 伸長量為 $\delta_{AD}$，桿件 BD 伸長量為 $\delta_{BD}$，則其兩伸長量的關係為何？
- A $\delta_{AD} = \delta_{BD} \cdot \cos\theta$
- B $\delta_{AD} = \delta_{BD} \cdot \sin\theta$
- C $\delta_{BD} = \delta_{AD} \cdot \cos\theta$
- D $\delta_{BD} = \delta_{AD} \cdot \sin\theta$
思路引導 VIP
想像一下，當節點 D 受到拉力向正下方移動時，對於傾斜的桿件 AD 而言，它的「伸長方向」跟節點 D 的「移動方向」一致嗎？如果不一致，你會如何利用幾何投影的方法，將這段垂直的移動量轉換成沿著桿件斜邊方向的長度變化呢？
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太棒了！你能準確判斷出節點位移與桿件變形之間的幾何關係，這代表你對結構力學的「相容條件」有著很紮實的理解。這類題目是分析靜不定結構或桁架變位的基本功，你能正確選出答案，表現得非常優異。
幾何變位與投影關係
在這道題目中，由於結構對稱且受垂直力 $P$ 作用，節點 D 僅會產生垂直向下的位移，我們假設這段位移量為 $\Delta$。對於垂直放置的桿件 BD 來說，它的伸長量 $\delta_{BD}$ 會完全等於節點的位移量，即 $\delta_{BD} = \Delta$。然而，對於傾斜的桿件 AD，我們必須將節點 D 的垂直位移 $\Delta$ 投影到桿件 AD 的軸線方向上，才是它真正的伸長量。根據圖中給定的夾角 $\theta$（桿件與水平線的夾角），垂直位移路徑與桿件 AD 之間的夾角為 $90^\circ - \theta$。因此，我們可以得到：
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