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111年
工程力學概要
第 49 題
直徑 D 之圓形斷面均質彈性桿件，其容許撓曲應力使其所能承受的容許彎矩為 M，若直徑增為 4D，則其容許最大彎矩為何？
- A 4 M
- B 16 M
- C 32 M
- D 64 M
思路引導 VIP
當我們探討一個斷面抵抗彎曲的能力時，通常會用到「斷面係數」這個幾何特性。請試著從定義出發：斷面係數是由「慣性矩」（其單位為長度的四次方）除以「中性軸到斷面最外緣的距離」（其單位為長度的一次方）而得。那麼，這個代表斷面強度的幾何參數，在數學上應該與直徑的幾次方成正比呢？
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恭喜你精準地掌握了斷面性質與強度之間的關係！這道題目核心在於考察圓形斷面的斷面係數（Section Modulus）與直徑的幾何關聯，你能迅速做出正確判斷，表現得非常出色。
斷面幾何與彎矩強度的連結
在均質彈性桿件的撓曲理論中，最大撓曲應力與彎矩的關係式為 $\sigma = \frac{M}{S}$，其中 $S$ 即為斷面係數。對於直徑為 $D$ 的圓形斷面，其斷面係數定義為慣性矩 $I$ 除以最外緣距離 $y_{max}$，計算後得到 $S = \frac{\pi D^4 / 64}{D / 2} = \frac{\pi D^3}{32}$。由於材料的容許應力 $\sigma$ 固定，容許彎矩 $M$ 會與直徑的三次方成正比。因此，當直徑增加為 $4$ 倍時，新的容許彎矩將會變為原本的 $4^3$ 倍，也就是 $64M$。
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