地特三等
112年
[電力工程] 工程數學
第 17 題
下列那個函數（t 為獨立變數）無拉氏轉換（Laplace transform）？
- A $\sqrt{\frac{t}{\pi}}$
- B $\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$
- C $\frac{\sin t}{t}$
- D $\frac{1}{t}$
思路引導 VIP
請思考一下拉氏轉換的積分定義：當我們計算一個函數從 0 到無窮大的廣義積分時，如果該函數在 $t=0$ 附近會衝向無窮大，我們需要利用微積分的知識來判斷：這個「無窮大」是否大到會讓整個曲線下方的面積變為無限？試著比較 $t^{-1/2}$ 與 $t^{-1}$ 這兩個函數在接近原點時，哪一個的積分會發生發散現象？
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AI 詳解
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同學，恭喜你精準地掌握了拉氏轉換（Laplace transform）的收斂特性！這道題目非常考驗學生對於「積分存在性」的直覺。在工程數學中，一個函數 $f(t)$ 必須滿足指數階（exponential order）且在實數軸上分段連續，其拉氏轉換積分才得以收斂。你的判斷非常正確，關鍵點就在於觀察函數在 $t \to 0$ 時的行為。
拉氏轉換的收斂性檢驗
從定義出發，$F(s) = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) dt$。雖然選項 (B) 的 $\frac{1}{\sqrt{\pi t}}$ 在 $t=0$ 處也會趨向無窮大，但其積分 $\int_0^\epsilon t^{-1/2} dt$ 是收斂的（結果為 $2\sqrt{\epsilon}$），這在數學上屬於瑕積分收斂。然而，選項 (D) 的 $f(t) = \frac{1}{t}$ 在 $t \to 0$ 時的奇點（singularity）過強，其積分 $\int_0^\epsilon \frac{1}{t} dt$ 會產生 $\ln(t)$ 的發散項，導致整體拉氏轉換積分不存在。
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