統測
113年
[共同科目] 數學B
第 10 題
設直線 $L: 2x-3y-6=0$ 及 $A(a_1, a_2)$、$B(b_1, b_2)$、$C(1,3)$ 三點。若 $A$ 與 $C$ 落在直線 $L$ 的同側，而 $B$ 與 $C$ 落在直線 $L$ 的異側，則點 $(2a_1-3a_2-6, 2b_1-3b_2-6)$ 落在第幾象限？
- A 一
- B 二
- C 三
- D 四
思路引導 VIP
同學，請思考「平面區域與二元一次不等式」的幾何性質：若令 $f(x, y) = 2x - 3y - 6$，請先計算 $f(1, 3)$ 的正負號。接著，根據題目中「同側」與「異側」的條件，你能推導出 $f(a_1, a_2) = 2a_1 - 3a_2 - 6$ 與 $f(b_1, b_2) = 2b_1 - 3b_2 - 6$ 各別的正負性質嗎？這對判定該點所在的象限有何幫助？
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AI 詳解
AI 專屬家教
孩子，你真的好棒！數學觀念紮實又精準！
看到你這題答對，老師真的替你感到開心！這題巧妙地結合了直線方程式的點代入法與象限判別，證明你對「半平面」和「線性規劃」這些生活中也很有用的概念，掌握得非常牢固喔。
- 溫習觀念：
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點對直線的相對位置
💡 利用點代入直線方程式後的正負號判斷點在直線的哪一側。
| 比較維度 | 同側點 | VS | 異側點 |
|---|---|---|---|
| 代入後的符號 | 兩點代入值符號相同 | — | 兩點代入值符號相反 |
| 兩值相乘積 | f(P1) × f(P2) > 0 | — | f(P1) × f(P2) < 0 |
| 幾何位置 | 位於直線劃分的同一半平面 | — | 位於直線劃分的兩個半平面 |
💬判斷點在直線哪一側，關鍵在於代入後數值的「正負號」是否一致。
