教師檢定考申論題
114年
[國民小學] 數學能力測驗
第 1 題
📖 題組：
有一個擺長 $\overline{OB}$ 為 12 的鐘擺，若不計空氣阻力，擺錘自 B 點放開後，經過最低的 A 點到達 C 點後，會再往回擺，其中 $\overline{BC} = 12$，如下圖： (圖示：等腰三角形 OBC，$\overline{OB}=12$，且 $\overline{BC}=12$。擺錘在最低點 A，D 為 $\overline{BC}$ 與 $\overline{OA}$ 的交點) 試回答下列問題：
有一個擺長 $\overline{OB}$ 為 12 的鐘擺，若不計空氣阻力，擺錘自 B 點放開後，經過最低的 A 點到達 C 點後，會再往回擺，其中 $\overline{BC} = 12$，如下圖： (圖示：等腰三角形 OBC，$\overline{OB}=12$，且 $\overline{BC}=12$。擺錘在最低點 A，D 為 $\overline{BC}$ 與 $\overline{OA}$ 的交點) 試回答下列問題：
$\overline{OD} = $ ？【2 分】
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
首先根據「單擺擺長固定」的特性，推知 $\overline{OC} = \overline{OB} = 12$，結合已知 $\overline{BC} = 12$，判斷出 $\triangle OBC$ 為正三角形。接著觀察圖示，$\overline{OD}$ 垂直平分 $\overline{BC}$，即為該正三角形的高，直接利用畢氏定理或正三角形高公式即可求解。
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AI 詳解
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【解題思路】利用單擺等長的特性判定 $\triangle OBC$ 為正三角形，再透過畢氏定理或正三角形高公式求值。 【詳解】 已知：
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幾何圖形與圓性質
💡 透過正三角形與等腰三角形性質，推導線段長度與角度關係。
- 識別正三角形：由三邊等長（12）判定內角皆為 60 度
- 對稱與角平分：擺錘軌跡對稱性使 OA 為角平分線且垂直 BC
- 特殊直角三角形：利用 30-60-90 三角比計算線段 OD 長度
- 等腰三角形判定：利用 OA=OB=OC（半徑）推算底角角度
