ast_essay
115年
數學甲
第 12 題
📖 題組：
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
12. 試證明 $q(0) = q(1)$。（非選擇題，2 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
看到含有變數上限積分的方程式，首要直覺是代入能使計算簡化的特殊點。因為積分下限為 1，代入 $x=1$ 可以讓積分項歸零，進而求出 $q(1)$；而方程式外頭乘上了一個 $x$，代入 $x=0$ 可以讓整個右式歸零，進而求出 $q(0)$。藉由這兩點的代入即可輕鬆完成證明。
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由題意 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$ 可得 $q(0)^2 = 0 \times \int_{1}^{0} p(t)dt = 0$ $q(1)^2 = 1 \times \int_{1}^{1} p(t)dt = 0$，故得 $q(0) = q(1) = 0$。