ast_essay
115年
數學甲
第 13 題
📖 題組：
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
13. 試求 $p(x)$。（非選擇題，4 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
本題需結合多項式假設與微積分基本定理。首先利用上一題得知的 $q(0)=q(1)=0$ 以及首項係數為 1 的條件，可以直接寫出 $q(x) = x(x-1)$。將 $q(x)$ 代回原方程式並整理出積分式的等式，最後對兩邊同時微分，就能把隱藏在積分號內的 $p(x)$ 提取出來。
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由 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且由第 12 題得 $q(0) = q(1) = 0$， 推得 $q(x) = x(x-1) = x^2-x$。 代入 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$，得 $[x(x-1)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$，
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