ast_essay
115年
數學甲
第 14 題
📖 題組：
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
12-14 題為題組 設 $p(x), q(x)$ 為實係數多項式，已知 $q(x)$ 為首項係數為 1 的二次式，且滿足 $[q(x)]^2 = x \int_{1}^{x} p(t)dt$。根據上述，試回答下列問題。
14. 試求多項式函數 $\int_{1}^{x} (p(t) - q(t))dt$ 在閉區間 $\left[\frac{1}{2}, 3\right]$ 上的最大值與最小值。（非選擇題，6 分）
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
求函數在閉區間上的極值，SOP 是找「臨界點」與「端點」。先將要求的積分函數設為 $F(x)$，根據微積分基本定理，$F'(x)$ 就是 $p(x)-q(x)$，這兩個多項式在前兩題都已經求出。找到讓 $F'(x)=0$ 的臨界點（需確認是否在給定區間內），接著將端點與臨界點代入 $F(x)$ 中進行數值比較，即可找出絕對最大值與最小值。
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設 $F(x) = \int_{1}^{x} (p(t) - q(t))dt$，由第 12 題與 13 題 得 $F(x) = \int_{1}^{x} (2t^2-3t+1)dt = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \left( \frac{2}{3} - \frac{3}{2} + 1 \right) = \frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{6}$ $F'(x) = 2x^2-3x+1 = (2x-1)(x-1)$，解得 $F'(x) = 0$ 的根為 $\frac{1}{2}, 1$。
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