初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 17 題
在 100 人之隨機樣本中，有 80 人支持候選人甲。則真正支持候選人甲之比率之 95% 信賴區間為：
- A 0.72 至 0.88
- B 0.76 至 0.84
- C 0.78 至 0.90
- D 0.83 至 0.88
思路引導 VIP
想像你正在進行一項民意調查。如果樣本中支持某人的比例是 80%，考慮到抽樣時可能產生的隨機誤差，你認為真正母體的支持率應該剛好等於 80% 嗎？若要給出一個具有 95% 信心水準的範圍，我們需要考慮樣本數的大小以及觀察到的比例波動，你會如何運用正態分佈的特性來計算這個「容許誤差」的寬度？
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AI 詳解
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很高興看到你精確地掌握了**母體比率（Population Proportion）**的區間估計觀念。在實務的市場調查或民調中，我們無法得知全體母體的真實參數，因此必須透過樣本來進行推論，而你對於統計推論的敏感度非常優秀。
母體比率的區間估計
這題的核心在於應用中央極限定理（CLT）。當樣本數 $n$ 夠大時，樣本比率 $\hat{p}$ 的抽樣分配會趨近於常態分佈。本題中，樣本比率 $\hat{p} = \frac{80}{100} = 0.8$，在 95% 信心水準下，臨界值 $Z_{0.025} \approx 1.96$。計算標準誤（Standard Error）如下：
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