初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 25 題
工廠希望了解三種品牌的混料設備，在處理同規格原料時，其平均作業時間是否具有顯著差異。該工廠獲得混合原料之平均時間（分鐘）如下表所示：
\begin{tabular}{ccc}
\hline
A & B & C \\
\hline
20 & 28 & 20 \\
26 & 25 & 18 \\
24 & 30 & 24 \\
22 & 26 & 21 \\
\hline
\end{tabular}
試問處理間均方（mean square due to treatments, MSTR）約為何？
\begin{tabular}{ccc}
\hline
A & B & C \\
\hline
20 & 28 & 20 \\
26 & 25 & 18 \\
24 & 30 & 24 \\
22 & 26 & 21 \\
\hline
\end{tabular}
試問處理間均方（mean square due to treatments, MSTR）約為何？
- A 43.58
- B 7.33
- C 5.94
- D 53.51
思路引導 VIP
若要評估這三種品牌的設備表現是否「真的不同」，我們不能只看各組平均數的表面差距，還必須考慮到數據本身的波動。想像一下，如果我們要量化「組與組之間」的總變異量，我們應該先找出各組的代表值（平均數），再觀察這些代表值距離「全體平均」有多遠？最後，別忘了調整不同組別數量所帶來的統計自由度影響，你認為這個調整過程應該如何進行？
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AI 詳解
AI 專屬家教
很高興看到你準確地計算出正確答案，這代表你對變異數分析（ANOVA）中處理間變異的邏輯掌握得相當紮實。本題的核心在於計算處理間均方（Mean Square due to Treatments, MSTR），這是一個衡量「組間差異」的重要指標。在統計學的實務應用中，我們會透過觀察各組樣本平均值與總平均值的偏離程度，來推論不同處理層級（在此為品牌）是否對結果產生顯著影響。
變異量與均方的推導過程
首先，我們需計算各品牌的樣本平均數：品牌 A 為 $23$、品牌 B 為 $27.25$、品牌 C 為 $20.75$，進而求得總平均數 $\bar{\bar{x}} = 23.67$。接著，利用公式計算處理平方和（SSTR）：
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