初等考試
115年
[統計] 統計學大意
第 39 題
下表為青少年與成年人飲料偏好數據，用來檢定不同年齡層與飲料偏好之間是否獨立。
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 咖啡 & 茶 & 冷飲 & 其他 & 總計 \\
\hline
青少年 & 50 & 150 & 250 & 50 & 500 \\
\hline
成年人 & 200 & 100 & 200 & 100 & 600 \\
\hline
總計 & 250 & 250 & 450 & 150 & 1100 \\
\hline
\end{tabular}
在給定顯著水準為 0.05 下，臨界值為何？
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& 咖啡 & 茶 & 冷飲 & 其他 & 總計 \\
\hline
青少年 & 50 & 150 & 250 & 50 & 500 \\
\hline
成年人 & 200 & 100 & 200 & 100 & 600 \\
\hline
總計 & 250 & 250 & 450 & 150 & 1100 \\
\hline
\end{tabular}
在給定顯著水準為 0.05 下，臨界值為何？
- A 6.251
- B 7.815
- C 12.592
- D 14.449
思路引導 VIP
若我們已經知道每一行與每一列的「總計」數值，在一個兩列、四行的表格中，你最少需要填入幾個格子裡的數值，就能推算出剩下所有格子的數字呢？這個「最少需要知道的數量」與統計學中分配的參數有什麼關聯？
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AI 詳解
AI 專屬家教
同學，恭喜你精準地判斷出正確答案！這題的核心在於「卡方獨立性檢定（Chi-square Test of Independence）」中對**自由度（Degrees of Freedom, $df$）**的掌握。在列聯表分析中，決定卡方分配形狀的關鍵參數並非樣本總數，而是表格的結構維度。
自由度的判定與臨界值
根據列聯表的理論，自由度的計算公式為 $df = (r - 1) \times (c - 1)$，其中 $r$ 為列數，$c$ 為行數。觀察本題表格，列（Row）代表年齡層，共有 2 類（青少年、成年人）；行（Column）代表飲料偏好，共有 4 類（咖啡、茶、冷飲、其他）。將數值代入公式：
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