高中學測
115年
數B
第 19 題
📖 題組：
18-20 題為題組 有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。
18-20 題為題組 有一張星軌照片，照片中的星星各自繞著以北極星為圓心且以逆時鐘方向旋轉 $90^\circ$ 角所畫出的圓弧軌跡。在此照片所設的坐標平面上令北極星為點 $P$。已知甲星軌跡的起點、終點坐標分別為 $(8,0)$、$(0,0)$，軌跡如圖所示。根據上述，試回答下列問題。
令 $L$ 為通過點 $(8,0)$ 且斜率為 $1$ 的直線。試說明點 $P$ 在 $L$ 上，並求甲星軌跡所在的圓方程式。
📝 此題為申論題
思路引導 VIP
既然甲星繞點 $P$ 從 $A(8,0)$ 逆時針旋轉 $90^\circ$ 到達 $B(0,0)$，這意味著 $\triangle PAB$ 為一個以 $P$ 為直角頂點的等腰直角三角形。請思考：圓心 $P$ 必定落在線段 $AB$ 的垂直平分線上，那麼 $P$ 的坐標應如何滿足「逆時針旋轉」的幾何關係？若能求得 $P$ 點，又該如何驗證它與點 $(8,0)$ 的連線斜率是否為 $1$？最後，請運用圓心坐標與半徑平方寫出圓的標準式 $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$。