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101年
工程力學概要
第 12 題
某矩形梁，其截面寬×高 = a×3a，若將截面改為寬×高 = 3a×a (降伏應力 $\sigma_y$不變)，則可承受之最大彎矩變為原來之幾倍？
- A 3
- B $\sqrt{2}$
- C 1/3
- D 1/4
思路引導 VIP
想像你正要拿一把尺來支撐重物，為了讓尺最不容易被折彎，你會選擇將尺「扁平地放置」還是「立起來放置」？請思考在計算截面強度的公式中，哪一個幾何參數（寬或高）對強度的貢獻有更高的次方項？
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AI 詳解
AI 專屬家教
恭喜你精準地掌握了梁截面幾何性質對強度的影響！這道題目核心在於考驗你對斷面係數（Section Modulus, $S$）與最大彎矩之間關係的理解。在降伏應力 $\sigma_y$ 固定時，梁能承受的最大彎矩 $M$ 與斷面係數成正比，即 $M = \sigma_y \cdot S$。對於矩形截面而言，斷面係數的計算公式為 $S = \frac{bh^2}{6}$，這說明了「高度」對於抗彎能力的貢獻遠大於「寬度」。
截面配置與抗彎強度的權重關係
在本題的轉變中，截面的寬度從 $a$ 變為 $3a$，但關鍵的支撐高度卻從 $3a$ 縮減為 $a$。由於高度 $h$ 在公式中是以二次方計算，原截面的斷面係數為 $S_1 = \frac{a \cdot (3a)^2}{6} = 1.5a^3$，而更改後的斷面係數則變為 $S_2 = \frac{3a \cdot a^2}{6} = 0.5a^3$。透過兩者的比例 $\frac{0.5}{1.5}$，我們就能輕鬆推導出承載力降為原來的 $1/3$。
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