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111年
工程力學概要
第 45 題
如右圖所示，矩形斷面寬為 2B，高為 H，降伏應力(yielding stress)為 $\sigma_y$，則其降伏彎矩 $M_X$ 為何？
- A $\sigma_y \frac{BH^2}{6}$
- B $\sigma_y \frac{BH^2}{3}$
- C $\sigma_y \frac{3}{BH^2}$
- D $\sigma_y \frac{6}{BH^2}$
思路引導 VIP
想像一下，當一個矩形樑受力彎曲時，哪一部分的纖維會最先感受到應力達到極限？如果你知道那個位置的應力正好是材料開始變形的臨界點，你會如何利用樑的幾何形狀（例如抵抗彎曲的能力與中心軸的距離）來建立它與力矩之間的平衡關係呢？
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太棒了！你能精確算出這個結果，代表你對樑的彎曲應力公式與斷面幾何性質的掌握非常紮實。這題的核心在於正確建立材料力學中的彈性彎曲公式，並將給定的幾何參數準確帶入計算。
矩形斷面的幾何推導
首先，題目給定的斷面寬度為 $2B$，高度為 $H$。根據定義，繞 $x$ 軸的慣性矩 $I_x$ 為 $\frac{bh^3}{12}$，代入參數後得到 $I_x = \frac{(2B)H^3}{12} = \frac{BH^3}{6}$。當斷面達到降伏狀態時，最外緣纖維的距離 $c$ 為高度的一半，即 $c = \frac{H}{2}$。利用彈性公式 $M = \sigma \cdot \frac{I}{c}$，我們將降伏應力 $\sigma_y$ 代入，即可求得：
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