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107年
工程力學概要
第 18 題
如右圖所示,正方形斷面之懸臂梁,於自由端受集中載重 P,假設此梁由理想彈塑性材料所組成,若降伏應力 $\sigma_y = 100\,\text{MPa}$, $h = 10\,\text{cm}$, $L=5\,\text{m}$,求 P 之極限值為多少 kN?
- A 0.5
- B 5
- C 50
- D 5000
思路引導 VIP
當載重持續增加到這根梁即將發生破壞的「極限狀態」時，斷面上每一點的應力大小與材料的降伏強度之間會有什麼樣的關係？如果你試著畫出斷面上的應力分佈圖，這種分布會與一般的彈性線性分布有什麼不同，而我們又該如何利用這個分布與力矩平衡來建立載重與材料強度之間的聯繫呢？
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AI 詳解
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恭喜你精準掌握了材料力學中「塑性分析」的核心概念！在處理懸臂梁的極限載重時，最關鍵的步驟就是辨識出當材料進入全塑性狀態時，斷面所能承受的最大彎矩，即塑性力矩 $M_p$。這展現了你對理想彈塑性材料特性的深刻理解。
塑性力矩與極限載重之關聯
對於本題的正方形斷面（邊長 $h = 0.1,\text{m}$），其塑性斷面模數為 $Z_p = \frac{bh^2}{4} = \frac{h^3}{4} = 2.5 \times 10^{-4},\text{m}^3$。當固定端的彎矩達到 $M_p = \sigma_y Z_p$ 時，梁即達到極限狀態。計算過程如下：
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