常微分方程與線性系統求解

📝 歷屆考古題

• 114年 高考申論題 第一題
  將下列矩陣分解成上三角矩陣 L 和下三角矩陣 U 的乘積，其中 L 的對角線都是 1。（20 分） \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \ 2 & 1 & -1 \ 3 & -1 &…
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• 114年 高考申論題 第二題
  求常微分方程式 y’’’(x)+ y’’(x)+ y’(x)+ y(x) = e^-x + 4x 的通解，以實數函數表示。（20 分）
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• 114年 高考申論題 第五題
  使用分離變數法求第一象限上偏微分方程 ∂^2u/∂r^2 + 1/r ∂u/∂r + 1/r^2 ∂^2u/∂θ^2 = 0 的通解 u(r, θ)，其中(r, θ)為極座標，邊界條件 u(r, 0)…
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• 113年 高考申論題 第一題
  求 P 使得 P^{-1}AP = D，其中 D 為一對角矩陣（diagonal matrix）。（10 分）
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• 113年 高考申論題 第二題
  求 \begin{pmatrix} x'(t) \ y'(t) \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x(t) \ y(t) \end{pmatrix} 的一般解（gen…
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• 113年 高考申論題 第五題
  利用函數 u(x, t) 對 x 的傅立葉轉換（Fourier transform） û(ω, t) = ∫_{-∞}^{∞} e^{-iωx} u(x, t) dx，證明 u(x, t) = $\frac{1}{\sqrt{4πt}}$…
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• 112年 高考申論題 第一題
  求函數 f 之傳立葉級數（Fourier series）。（15分）
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• 112年 高考申論題 第一題
  求 P 使得 P⁻¹AP = D，其中 D 為一 diagonal matrix。（15分）
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• 112年 高考申論題 第二題
  求初始值問題 u_t(x, t) = u_xx(x, t)，x ∈ (-π, π)，t > 0，u_x(-π, t) = u_x(π, t) = 0，u(x, 0) = x² 之解。（25分）
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• 112年 高考申論題 第二題
  求初始值問題 x'(t) = Ax(t)，x(0) = [ 1 ] [ 1 ] 之解。（20分）
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• 111年 高考申論題 第一題
  有唯一解
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• 111年 高考申論題 第二題
  有無窮多解
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• 111年 高考申論題 第二題
  二、求解微分方程式 y'(x) = y(x) / (e^{-2y(x)} - 2xy(x)) 的非零通解。（20 分）
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• 111年 高考申論題 第三題
  無解
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• 111年 高考申論題 第五題
  五、求帕松（Poisson）偏微分方程 Δu(r, θ) = 1 / √(r² + c²) 的所有徑向（radial）解 u(r)，其中 c > 0 為常數，(r, θ) 為極坐標，Δ = ∂²/∂x…
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• 108年 高考申論題 第一題
  請求出滿足(1)之(x, y,z)的通解。（20 分）
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• 108年 高考申論題 第二題
  令(x_p(t), y_p(t),z_p(t))滿足(1)及初始值(x_p(0), y_p(0),z_p(0)) = (x_0, y_0, z_0)的解。試問對任何(x_0, y_0, z_0)，(x…
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• 108年 高考申論題 第二題
  利用分離變數法求解以下熱方程的初始及邊界值問題： \begin{cases} u_t = u_{xx} - au, 0 < x < h, t > 0, \ u(0, t) = 0, u(h, t) =…
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• 108年 高考申論題 第三題
  定義函數空間…
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• 108年 高考申論題 第四題
  求 y = y(x)滿足 \begin{cases} x^2 y'' + 3xy' + y = (\ln x)/x, \ y(1) = 0, \lim_{x \to $\infty} y(x) = 0. \end{cases}$…
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• 106年 高考申論題 第一題
  請先將下列二階常微分方程式轉換成一階聯立方程式系統，然後解出其通解（Please find a general solution of the given equation by first conv…
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• 106年 高考申論題 第二題
  找出下列 Sturm-Liouville 問題的特徵值與特徵函數（Please find eigenvalues and eigenfunctions of the following Sturm-L…
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• 106年 高考申論題 第三題
  請解出下列矩陣的行列式和反矩陣（Please find the determinant and the inverse of the following matrix）。（20 分） A = [ -…
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• 106年 高考申論題 第四題
  請解下列邊界值問題（Please solve the following boundary value problem）。（20 分） ∂u/∂t = c^2 (∂^2u/∂x^2) u_x(0,t)…
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• 105年 高考申論題 第一題
  一、設 A 為 n×n 矩陣，證明 A 可對角線化的充要條件是 A 擁有 n 個線性獨立的特徵向量。（20 分）
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• 105年 高考申論題 第四題
  四、解微分方程式：xy'(x) = y³(x) 與 y(1) = 1。若 y(1) = -1，其解又為何？（20 分）
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• 105年 高考申論題 第五題
  五、求 f(x) = ∛(1+x) 對原點展開的泰勒級數一般項公式，其收斂區間為何？（20 分）
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