常微分方程式與偏微分方程式求解

📝 歷屆考古題

• 112年 高等考試 第1題
  二階微分方程 $y'' - y' - 12y = 2\sinh^2(x)$，初始值未知，試問其全解（通解加特解）為何？
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• 112年 高等考試 第2題
  二階微分方程 $3y'' + 12y = 2\tan(2x)$，試問其特解為何？
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• 112年 高等考試 第17題
  方程式 $e^x y' = 2(x+1)y^2$，$y(0) = 1/6$ 之解為下列何者？
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• 111年 高等考試 第13題
  一階常微分方程式 $e^{x+y} y' = 3x$，下列何者為正確的解答？ ($y' = \frac{dy}{dx}$)
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• 111年 高等考試 第14題
  二階微分方程式 $x^2 y'' - 9xy' + 24y = 0, y(1) = 1, y'(1) = 10$，設 $y = ax^6 + bx^5 + cx^4 + dx^3$ 為其解，下列何者正…
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• 110年 高等考試 第13題
  考慮如下所示之初始值問題（initial-value problem）： $y'' - x^2y' - 3xy = 0$; $y(0) = 1, y'(0) = -2$ 如果我們將解（solution…
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• 110年 高等考試 第14題
  假設 $y(x)$ 可以由下列微分方程來描述： $\frac{dy}{dx} = \frac{3x^2-1}{2y+5}$ 而且合乎初始條件：$y(1) = -1$．請問 $y(0) = ?$
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• 110年 高等考試 第15題
  下列選項之中，何者屬於線性（linear）微分方程式？
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• 110年 高等考試 第17題
  考慮微分方程式 $y''+5y'+6y=x$，初始值為 $y(0)=A$ 和 $y'(0)=B$。若其解為 $y = \frac{1}{2}e^{-2x} - \frac{1}{3}e^{-3x} + \frac{1}{6}x + C$…
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• 109年 高等考試 第7題
  下列那一個是適合的積分因子（integrating factor），乘上它以後，將使微分方程式 $(x+y)dx+x\ln(x)dy=0$ 變成正合（exact）？
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• 109年 高等考試 第10題
  設 $y = c_1 e^x + c_2 e^{-2x} + c_3 x e^{-2x}$ 為微分方程 $y''' + ay'' + by' + cy = 0$ 的通解（general solutio…
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• 108年 高等考試 第10題
  10. 令 $y = a \cos(3x) + b \sin(3x) + c \cos(4x)$ 為微分方程式 $y'' + 9y = 14 \cos(4x)$ 之解，其中 $y(0) = 0$，$y'(0) = 3$…
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• 108年 高等考試 第12題
  12. 下列何者是微分方程式 $y'' - \frac{4}{x}y' + \frac{4}{x^2}y = x^2 + 1$ 的解？（選項中 $c_1$ 和 $c_2$ 為任意常數，而 $a_1$…
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• 108年 高等考試 第13題
  13. 請問 $e^{-2x} \cos x$ 是下列那一微分方程式的解？
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• 108年 高等考試 第14題
  14. 下列何者不可能是 $y'' + Ay' + By = 0$（$A$ 和 $B$ 為常數）的解？
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• 108年 高等考試 第15題
  15. 若 $c$ 為常數，$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$ 與…
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• 107年 高等考試 第11題
  下列何者可做為微分方程式 $2 + (6x - e^{-2y})\frac{dy}{dx} = 0$ 的積分因子（integration factor）？
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• 107年 高等考試 第12題
  給定一個二維（2-dimension）微分方程式 $x'(t) = -2y(t), y'(t) = \frac{1}{2}x(t)$，且滿足 $x(0) = 2, y(0) = 0$，則下列選項何者正…
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• 107年 高等考試 第13題
  下列何者是 $(x-1)^2 y'' - 4xy' + 4y' + 4y = 0$ 的解？（選項中 $c_1$ 和 $c_2$ 為任意常數。）
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• 107年 高等考試 第15題
  求符合偏微分方程式 $u_{xy} - 4u_x = 0$ 的通解。
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• 106年 高等考試 第3題
  一階微分方程式 $x^2 y' - xy - y^2 = 0$ 之解為：（其中 $C$ 為常數。）
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• 106年 高等考試 第10題
  假設微分方程式 $y' + 4y = \cos t$ 且 $y(0) = 0$，下列何函數不會出現在 $y(t)$ 的解之中？
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• 106年 高等考試 第11題
  $y'' - 3y' - 4y = 8x^2$，$y(0) = 1$，$y'(0) = 2$，其中 $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$，$y' = \frac{dy}{dx}$，則 $y''(0) = ?$
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• 106年 高等考試 第12題
  設微分方程式 $xy'' + 2y' = 6x$，且 $y(1) = 1$，$y'(1) = 2$，則下列何者正確？
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• 106年 高等考試 第13題
  設 $x(t)$ 為 $\frac{dy(t)}{dt} - 3y(t) = 6$ 之解，則 $\lim_{t \to -\infty} x(t)$ 之值為何？
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• 105年 高等考試 第13題
  試求微分方程式 $y'' - 4y' + 4y = \frac{e^{2x}}{x}$ 之通解，其中 $y' = \frac{dy}{dx}, y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$：（答案…
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• 105年 高等考試 第15題
  下列何者為方程式 $\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} - 2\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$…
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• 105年 高等考試 第17題
  下列何者為微分方程式 $\frac{d^4 y}{dx^4} - \frac{2}{3} \frac{d^3 y}{dx^3} + \frac{1}{9} \frac{d^2 y}{dx^2} = 0$…
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